Número racional

Em matemática, um número racional é todo número que pode ser representado por uma fração {\displaystyle {\frac {a}{b}}} de dois números inteiros, um numerador a e um denominador não nulo b. Como b pode ser igual a 1, todo número inteiro também é um número racional. O termo racional surge do fato de{\displaystyle {\frac {a}{b}}} representar a razão ou proporção entre os inteiros a e b.

O conjunto dos números racionais é representado por \mathbb{Q} (ou alternativamente por Q), sendo o uso da letra “Q” derivado da palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é “quantas vezes”. Tal conjunto é definido por: {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\dfrac {a}{b}}|\,a\in \mathbb {Z} \quad {\mbox{e}}\quad b\in \mathbb {Z^{*}} \right\}.}A expansão decimal de um número racional sempre termina após um número finito de dígitos ou começa a repetir a mesma sequência finita de dígitos repetidamente. Além disso, qualquer dízima periódica ou número decimal com quantidade finita de casas decimais representa um número racional. Essas instruções são verdadeiras não apenas para a base 10, mas também para qualquer outra base inteira (por exemplo, binária, hexadecimal). Números racionais podem ser formalmente definidos como classes de equivalência do par de inteiros (a,b) em que {\displaystyle b\not =0}, para a relação de equivalência definida por {\displaystyle (a_{1},b_{1})\thicksim (a_{2},b_{2})} se, e somente se, {\displaystyle a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}}.

Os números racionais junto com a adição e a multiplicação formam um corpo que contém os inteiros e é contido por qualquer corpo que contém os inteiros. Extensões finitas de \mathbb{Q} são chamadas de corpos de números algébricos, e o fechamento algébrico de \mathbb{Q} é o corpo dos números algébricos.

Em análise matemática, os números racionais formam um subconjunto denso dos números reais. Os números reais podem ser construídos a partir dos números racionais por complementação, usando as sequências de Cauchy, cortes de Dedekind ou decimais infinitos.

Um número real que não é racional é chamado número irracional. Exemplos de números irracionais são a raiz quadrada de 2 ({\displaystyle {\sqrt {2}}}), a constante Pi (\pi), a constante de Euler (e) e a proporção áurea (\varphi). A expansão decimal de um irracional é sempre infinita e não periódica. Como o conjunto dos números racionais é enumerável e o conjunto dos números reais é não enumerável, quase todos os números reais são irracionais.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

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